EJERCICIOS DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR

   La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes. (Wikipedia, Distribución Normal, Obtenido de: https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normal)

FORMULAS Y DESCRIPCIÓN DE VARIABLES

Z =  (x - μ)/σ

x = Valor analizar.            μ = La media.
σ = Desviación estándar. Z = Estandarización.

Fig. 1. Tabla de Estandarización de la distribución Normal
Obtenida de: https://salamarkesa.com/wp-content/uploads/2016/12/tabla-normal-tipificada.png

Ejercicios:

1. Las estaturas de los Colombianos tienen una distribución normal donde la media es 167 cm y la desviación estándar es de 12.5.

σ = 12.5 μ = 167cm

a. Calcular la probabilidad de que las estaturas sean > 185 cm.

Nota: Para hallar el valor de la estandarización , simplemente se usa la formula.

Z =  (185 - 167)/12.5  = 1.44

Nota: Ahora, para hallar el valor de probabilidad, se usa la tabla anterior, buscando el valor de la estandarización hallada (1.44) y la probabilidad sería 0.4251, (este número es la mitad de la probabilidad total), Fig. 2. Y así sucesivamente con todos los ejercicios.

Fig. 2. Probabilidad de estandarización de 1.44.
Elaborado por el autor.

P(Z) o P(167 <= X <=185) = 0.4251

Nota: Como el ejercicio nos pide hallar la probabilidad que sea mayor a 185 cm, se hace el siguiente calculo. 

P(X > 185) = 0.5 – 0.4251 = 0.0749

Fig. 3. Ejercicio a.
Elaborado por el autor.

En la figura 3, muestra la campana de Gauss, dónde el punto más alto representa la media del ejercicio, además, el área sombreada de azul, representa la cantidad mayor a 185 cm, con una probabilidad de 0.0749.

Análisis: La probabilidad de que las estaturas sean mayores a 185 cm es del 7.49%. 

b. Calcular la probabilidad de que las estaturas sean mayores o iguales a 160 cm y menores o iguales a 182 cm.

Z_1  =  (160 - 167)/12.5  = -0.56

P(Z_1) o P(160 <= X <=167) = 0.2123

Z_2  =  (182 - 167)/12.5  = 1.2

P(Z_2) o P(167 <= X <=182) = 0.3849

P(160 <= X <=182) = 0.2123 + 0.3849 = 0.5972

Fig. 4. Ejercicio b.
Elaborado por el autor.

Como en el ejercicio b, se pide que la probabilidad a hallar, es mayor o igual a 160 cm y menor o igual a 182 cm, se sacan dos estandarizaciones (Z), la primera va de 160 cm a 167 cm (Media) y la segunda de la media a 187 cm, y a la final se suman. Como se muestra en la figura 4, el área sombreada de azul, hay una probabilidad de 0.5972.

Análisis: La probabilidad de que las estaturas sean mayores o iguales a 160 cm y menores o iguales a 182 cm es del 59.72%.

c. Calcular la probabilidad de que las estaturas sean mayores o iguales a 170 cm y menores o iguales a 183 cm.

Z_1  =  (170 - 167)/12.5  = 0.24

P(Z_1) o P(167 <= X <=170) = 0.0948

Z_2  =  (183 - 167)/12.5  = 1.28

P(Z_2) o P(167 <= X <=183) = 0.3997

P(170 <= X <=183) = 0.3997 – 0.0948 = 0.3049

Fig. 5. Ejercicio c.
Elaborado por el autor.

Análisis: La probabilidad es de 30.49%, de que las estaturas sean mayores o iguales a 170 cm y menores o iguales a 183 cm.