DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli. (Wikipedia, Distribución Binomial, obtenido de: https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_binomial)

En este video se explica la distribución binomial: https://www.youtube.com/watch?v=24C6ZvuV25E

Imagen 1 - Distribución Binomial.
Obtenida de: https://enfermeriaunam.files.wordpress.com/2016/04/estadistica.jpg?w=450

FORMULAS Y DESCRIPCIÓN DE VARIABLES

P(x=k)= nCk * p^k* q^(n-k)

nCk =  n!/((n-k)! *k!)

q = 1 – p.

u = n*p

σ=√((n*p*q) )

n o x = Número de intentos. p = Probabilidad de éxito de cada intento.
u = Media.                                              q = Probabilidad de error de cada intento.
σ = Desviación estándar. k = Valor del suceso.
nCk = Combinatoria de n y k.


Ejercicios:

1. La probabilidad de obtener exactamente 2 caras en 6 lanzamientos de una moneda es.

6C2 =  6!/((6-2)!*2!)= 15.

P(6=2)= 6C2*〖0.5〗^2*〖0.5〗^(6-2)= 15*0.25*0.0625 = 0.2344.

u = 6*0.5 = 3

σ=√((6*0.5*0.5) )=1.2247

Análisis: La probabilidad de que caigan exactamente dos caras en seis lanzamientos de una moneda es del 23.44%, la media es de 3 y la desviación estándar es de 1.2247.


2. La probabilidad de obtener por lo menos 4 caras en 6 lanzamientos de una moneda es.

P(6>=4)= 6C4 * 〖0.5〗^4* 〖0.5〗^(6-4)  +  6C5 * 〖0.5〗^5* 〖0.5〗^(6-5)  +  6C6 * 〖0.5〗^6* 〖0.5〗^(6-6) 

6C4 =  6!/((6-4)! *4!)  = 15

6C5 =  6!/((6-5)! *5!)  = 6

6C6 =  6!/((6-6)! *6!)  = 1

P(6>=4)= 15 * 〖0.5〗^4* 〖0.5〗^(6-4)  +  6* 〖0.5〗^5* 〖0.5〗^(6-5)  +  1 * 〖0.5〗^6* 〖0.5〗^(6-6) 

P(6>=4)= 0.23438 +  0.09375 +  0.01563 = 0.34375

u = 6*0.5 = 3

σ = √(6*0.5*0.5) = 1.2247

Análisis: La probabilidad de que caigan al menos cuatro caras en seis lanzamientos de una moneda es del 34.375%, la media es de 3 y la desviación estándar es de 1.2247.


3. En 100 lanzamientos de una moneda, el número de medio de caras es: y el número esperado de caras es.

u = 100*0.5 = 50

Análisis: El número medio de caras es de 50 y el número esperado de caras es de 50.

4. Hallar la probabilidad de que en 5 lanzamientos de un dado aparezca un 3:

p = 1 / 6 = 0.16667. q = 1 – 0.16667 = 0.83333.

a. Ninguna vez.

5C0 =  5!/((5-0)! *0!)  = 1

P(5=0)= 5C0 * 〖0.16667〗^0* 〖0.83333〗^(5-0)  = 1 * 1 * 0.4018 = 0.4018

Análisis: La probabilidad de que no caiga un tres en los cinco lanzamientos de un dado, es del 40.18%.

b. Una vez.

5C1 =  5!/((5-1)! *1!)  = 5

P(5=1)= 5C1 * 〖0.16667〗^1* 〖0.83333〗^(5-1)  = 5 * 0.16667 * 0.4822 = 0.4018

Análisis: La probabilidad de que caiga una vez el número tres en los cinco lanzamientos de un dado, es del 40.18%.

c. Dos veces.

5C2 =  5!/((5-2)! *2!)  = 10

P(5=2)= 5C2 * 〖0.16667〗^2* 〖0.83333〗^(5-2)  = 10 * 0.0277 * 0.5787 = 0.1608

Análisis: La probabilidad de que caiga dos veces el número tres en los cinco lanzamientos de un dado, es del 16.08%.

d. Tres veces.

5C3 =  5!/((5-3)! *3!)  = 10

P(5=3)= 5C3 * 〖0.16667〗^3* 〖0.83333〗^(5-3)  = 10 * 0.0046 * 0.6944 = 0.03215

Análisis: La probabilidad de que caiga tres veces el número tres en los cinco lanzamientos de un dado, es del 3.215%.

e. Cuatro veces.

5C4 =  5!/((5-4)! *4!)  = 5

P(5=4)= 5C4 * 〖0.16667〗^4* 〖0.83333〗^(5-4)  = 5 * 0.00077 * 0.83333 = 0.003215

Análisis: La probabilidad de que caiga cuatro veces el número tres en los cinco lanzamientos de un dado, es del 0.3215%.

f. Cinco veces.

5C5 =  5!/((5-5)! *5!)  = 1

P(5=5)= 5C5 * 〖0.16667〗^5* 〖0.83333〗^(5-5)  = 1 * 0.00012 * 1 = 0.00012

Análisis: La probabilidad de que caiga cinco veces el número tres en los cinco lanzamientos de un dado, es del 0.012%.