EJERCICIOS DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR

   La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes. (Wikipedia, Distribución Normal, Obtenido de: https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normal)

FORMULAS Y DESCRIPCIÓN DE VARIABLES

Z =  (x - μ)/σ

x = Valor analizar.            μ = La media.
σ = Desviación estándar. Z = Estandarización.

Fig. 1. Tabla de Estandarización de la distribución Normal
Obtenida de: https://salamarkesa.com/wp-content/uploads/2016/12/tabla-normal-tipificada.png

Ejercicios:

1. Las estaturas de los Colombianos tienen una distribución normal donde la media es 167 cm y la desviación estándar es de 12.5.

σ = 12.5 μ = 167cm

a. Calcular la probabilidad de que las estaturas sean > 185 cm.

Nota: Para hallar el valor de la estandarización , simplemente se usa la formula.

Z =  (185 - 167)/12.5  = 1.44

Nota: Ahora, para hallar el valor de probabilidad, se usa la tabla anterior, buscando el valor de la estandarización hallada (1.44) y la probabilidad sería 0.4251, (este número es la mitad de la probabilidad total), Fig. 2. Y así sucesivamente con todos los ejercicios.

Fig. 2. Probabilidad de estandarización de 1.44.
Elaborado por el autor.

P(Z) o P(167 <= X <=185) = 0.4251

Nota: Como el ejercicio nos pide hallar la probabilidad que sea mayor a 185 cm, se hace el siguiente calculo. 

P(X > 185) = 0.5 – 0.4251 = 0.0749

Fig. 3. Ejercicio a.
Elaborado por el autor.

En la figura 3, muestra la campana de Gauss, dónde el punto más alto representa la media del ejercicio, además, el área sombreada de azul, representa la cantidad mayor a 185 cm, con una probabilidad de 0.0749.

Análisis: La probabilidad de que las estaturas sean mayores a 185 cm es del 7.49%. 

b. Calcular la probabilidad de que las estaturas sean mayores o iguales a 160 cm y menores o iguales a 182 cm.

Z_1  =  (160 - 167)/12.5  = -0.56

P(Z_1) o P(160 <= X <=167) = 0.2123

Z_2  =  (182 - 167)/12.5  = 1.2

P(Z_2) o P(167 <= X <=182) = 0.3849

P(160 <= X <=182) = 0.2123 + 0.3849 = 0.5972

Fig. 4. Ejercicio b.
Elaborado por el autor.

Como en el ejercicio b, se pide que la probabilidad a hallar, es mayor o igual a 160 cm y menor o igual a 182 cm, se sacan dos estandarizaciones (Z), la primera va de 160 cm a 167 cm (Media) y la segunda de la media a 187 cm, y a la final se suman. Como se muestra en la figura 4, el área sombreada de azul, hay una probabilidad de 0.5972.

Análisis: La probabilidad de que las estaturas sean mayores o iguales a 160 cm y menores o iguales a 182 cm es del 59.72%.

c. Calcular la probabilidad de que las estaturas sean mayores o iguales a 170 cm y menores o iguales a 183 cm.

Z_1  =  (170 - 167)/12.5  = 0.24

P(Z_1) o P(167 <= X <=170) = 0.0948

Z_2  =  (183 - 167)/12.5  = 1.28

P(Z_2) o P(167 <= X <=183) = 0.3997

P(170 <= X <=183) = 0.3997 – 0.0948 = 0.3049

Fig. 5. Ejercicio c.
Elaborado por el autor.

Análisis: La probabilidad es de 30.49%, de que las estaturas sean mayores o iguales a 170 cm y menores o iguales a 183 cm.

EJERCICIOS POISSON Y BINOMIAL

Imagen 1 - Ejercicios.
Obtenida de: https://thumbs.dreamstime.com/t/looking-difficult-complex-equation-15592053.jpg

FORMULAS Y DESCRIPCIÓN DE VARIABLES

BINOMIAL
P(x=k)= nCk * p^k* q^(n-k)

nCk =  n!/((n-k)! *k!)
q = 1 – p.

u o landa= n*p

POISSON
P(x=k)=(e^(-landa)  *〖landa〗^k)/k!

n o x = Número de intentos. p = Probabilidad de éxito de cada intento.
u o landa = Media.         q = Probabilidad de error de cada intento.
σ = Desviación estándar. k = Valor del suceso.
e = Euler.

Ejercicios:

1. De las herramientas que se producen con determinado proceso de fabricación, el 10% resultan defectuosas. (Distribución Binomial y Poisson)

p = 0.1. q = 0.9. u = 10*0.1 = 1 .

a. Hallar la probabilidad de que, en una muestra de 10 herramientas elegidas al azar, exactamente 2 están defectuosas.

n = 10. k = 2.

BINOMIAL
10C2 =  10!/((10-2)! *2!)  =  (8! * 9 * 10)/(8! * 2!)  = 45

P(10=2)= 10C2 * 〖0.1〗^2* 〖0.9〗^(10-2)  = 45 * 0.01 * 0.43 = 0.19371

Análisis:  Hay un 19.371% de probabilidad de que 2 herramientas salgan defectuosas en la producción.


POISSON
P(10=2)=(e^(-1)  *1^2)/2!  =  e^(-1)/2  = 0.1839

Análisis: Hay un 18.39% de probabilidad que 2 herramientas salgan defectuosas.



2. Si la probabilidad de que un individuo tenga una reacción adversa de determinado suero es 0.001, determinar la probabilidad de que 2000 individuos: (Distribución Binomial y Poisson)

p = 0.001 q = 1 – p = 0.999 u = 2000 * 0.001 = 2 N = 2000 individuos

a. Exactamente 3.

k = 3

BINOMIAL
P(2000=3)= 2000C3 * 〖0.001〗^3* 〖0.999〗^(2000-3)  = 0.1805

Análisis:  La probabilidad de que tres individuos tenga una reacción adversa es del 18.05%.

POISSON
P(2000=3)=(e^(-2)  *2^3)/3!  =  (e^(-2)  * 8)/6  = 0.18045

Análisis: La probabilidad es del 18.045% de que tres individuos tengan una reacción adversa.


b. Más de 2 sufran una reacción adversa.

BINOMIAL
P(2000 ≥2)=1 - (2000C0 * 〖0.001〗^0* 〖0.999〗^(2000-0)  +2000C1 * 〖0.001〗^1* 〖0.999〗^(2000-1)  + 2000C2 * 〖0.001〗^2* 〖0.999〗^(2000-2)) = 1 -0.67668 = 0.32332

Análisis: La probabilidad de que, más de 2 sufran una reacción adversa es del 32.332%.

POISSON
P(2000≥2)=1 -((e^(-2)  *2^0)/0!+ (e^(-2)  *2^1)/1!+(e^(-2)  *2^2)/2!)  =1-0.67668 = 0.32332

Análisis: La probabilidad de que, más de 2 sufran una reacción adversa es del 32.332%.



3. En la fabricación de un cierto producto se produce con fallas, suponiendo que el número de fallas sigue la siguiente distribución uniforme:

f(x) = {(1/3, x=2,4,5 And 0 en otro caso)

a. Determine la probabilidad de que en cierto producto se encuentren:
2 fallas.

Análisis: Probabilidad del 33.333%

b. 3 fallas.

Análisis: Probabilidad del 0%

c. Más de 3 fallas.

( P(4) = 1 / 3 ) + (  P(5)  = 1 / 3 ) = 2 / 3.

Análisis: Probabilidad del 66.666% 

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli. (Wikipedia, Distribución Binomial, obtenido de: https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_binomial)

En este video se explica la distribución binomial: https://www.youtube.com/watch?v=24C6ZvuV25E

Imagen 1 - Distribución Binomial.
Obtenida de: https://enfermeriaunam.files.wordpress.com/2016/04/estadistica.jpg?w=450

FORMULAS Y DESCRIPCIÓN DE VARIABLES

P(x=k)= nCk * p^k* q^(n-k)

nCk =  n!/((n-k)! *k!)

q = 1 – p.

u = n*p

σ=√((n*p*q) )

n o x = Número de intentos. p = Probabilidad de éxito de cada intento.
u = Media.                                              q = Probabilidad de error de cada intento.
σ = Desviación estándar. k = Valor del suceso.
nCk = Combinatoria de n y k.


Ejercicios:

1. La probabilidad de obtener exactamente 2 caras en 6 lanzamientos de una moneda es.

6C2 =  6!/((6-2)!*2!)= 15.

P(6=2)= 6C2*〖0.5〗^2*〖0.5〗^(6-2)= 15*0.25*0.0625 = 0.2344.

u = 6*0.5 = 3

σ=√((6*0.5*0.5) )=1.2247

Análisis: La probabilidad de que caigan exactamente dos caras en seis lanzamientos de una moneda es del 23.44%, la media es de 3 y la desviación estándar es de 1.2247.


2. La probabilidad de obtener por lo menos 4 caras en 6 lanzamientos de una moneda es.

P(6>=4)= 6C4 * 〖0.5〗^4* 〖0.5〗^(6-4)  +  6C5 * 〖0.5〗^5* 〖0.5〗^(6-5)  +  6C6 * 〖0.5〗^6* 〖0.5〗^(6-6) 

6C4 =  6!/((6-4)! *4!)  = 15

6C5 =  6!/((6-5)! *5!)  = 6

6C6 =  6!/((6-6)! *6!)  = 1

P(6>=4)= 15 * 〖0.5〗^4* 〖0.5〗^(6-4)  +  6* 〖0.5〗^5* 〖0.5〗^(6-5)  +  1 * 〖0.5〗^6* 〖0.5〗^(6-6) 

P(6>=4)= 0.23438 +  0.09375 +  0.01563 = 0.34375

u = 6*0.5 = 3

σ = √(6*0.5*0.5) = 1.2247

Análisis: La probabilidad de que caigan al menos cuatro caras en seis lanzamientos de una moneda es del 34.375%, la media es de 3 y la desviación estándar es de 1.2247.


3. En 100 lanzamientos de una moneda, el número de medio de caras es: y el número esperado de caras es.

u = 100*0.5 = 50

Análisis: El número medio de caras es de 50 y el número esperado de caras es de 50.

4. Hallar la probabilidad de que en 5 lanzamientos de un dado aparezca un 3:

p = 1 / 6 = 0.16667. q = 1 – 0.16667 = 0.83333.

a. Ninguna vez.

5C0 =  5!/((5-0)! *0!)  = 1

P(5=0)= 5C0 * 〖0.16667〗^0* 〖0.83333〗^(5-0)  = 1 * 1 * 0.4018 = 0.4018

Análisis: La probabilidad de que no caiga un tres en los cinco lanzamientos de un dado, es del 40.18%.

b. Una vez.

5C1 =  5!/((5-1)! *1!)  = 5

P(5=1)= 5C1 * 〖0.16667〗^1* 〖0.83333〗^(5-1)  = 5 * 0.16667 * 0.4822 = 0.4018

Análisis: La probabilidad de que caiga una vez el número tres en los cinco lanzamientos de un dado, es del 40.18%.

c. Dos veces.

5C2 =  5!/((5-2)! *2!)  = 10

P(5=2)= 5C2 * 〖0.16667〗^2* 〖0.83333〗^(5-2)  = 10 * 0.0277 * 0.5787 = 0.1608

Análisis: La probabilidad de que caiga dos veces el número tres en los cinco lanzamientos de un dado, es del 16.08%.

d. Tres veces.

5C3 =  5!/((5-3)! *3!)  = 10

P(5=3)= 5C3 * 〖0.16667〗^3* 〖0.83333〗^(5-3)  = 10 * 0.0046 * 0.6944 = 0.03215

Análisis: La probabilidad de que caiga tres veces el número tres en los cinco lanzamientos de un dado, es del 3.215%.

e. Cuatro veces.

5C4 =  5!/((5-4)! *4!)  = 5

P(5=4)= 5C4 * 〖0.16667〗^4* 〖0.83333〗^(5-4)  = 5 * 0.00077 * 0.83333 = 0.003215

Análisis: La probabilidad de que caiga cuatro veces el número tres en los cinco lanzamientos de un dado, es del 0.3215%.

f. Cinco veces.

5C5 =  5!/((5-5)! *5!)  = 1

P(5=5)= 5C5 * 〖0.16667〗^5* 〖0.83333〗^(5-5)  = 1 * 0.00012 * 1 = 0.00012

Análisis: La probabilidad de que caiga cinco veces el número tres en los cinco lanzamientos de un dado, es del 0.012%.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

La estadística es una ciencia de la matemática, que mediante uso de datos estudia cuantitativamente las características de una población.

Imagen 1 - Estadística.
Obtenida de: http://conceptodefinicion.de/wp-content/uploads/2015/05/estadistica.jpg

Existen varios tipos de análisis estadísticos:

Medidas de tendencia central: 

1. Media (M): Promedio es la sumatoria del valor de los sucesos, dividido por el número total de sucesos.

M = Sumatoria(Sucesos) / #Sucesos.

2. Mediana (Me): Un conjunto de números acomodados en orden de magnitud, es el valor central o la media de los dos valores centrales. ejemplo:

Conjunto 1 ={1,2,3,4,5,6,7} Me = 4, porque es el valor central del conjunto.

3. Moda (Mo): Es el valor que se presenta con más frecuencia, es algún caso puede no haber moda, o que la moda sea igual y no halla número mayor de repeticiones. ejemplo:

Por ejemplo en el Conjunto 1 anterior no hay moda, porque no se repite un valor más de una vez.

Conjunto 2 = {1,1,2,3,4,5} Mo = 1, porque se repite 1 más veces que los otros valores.

4. Desviación Estándar: Es una medida de dispersión para variables de razón y de intervalo. 

5. Varianza: Una variable de dispersión aleatoria, definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media. 


Definiciones:

Rango: Valor entre un dato mínimo a uno máximo.
Frecuencia: Número de veces que se repite una valor dentro de un rango.



Ejercicios: 

     1.    Se obtienen varios datos recolectados de las categorías; Altura, Genero y Edad, del grupo de modelación de la universidad de Cundinamarca. Y son los siguientes:

M: Masculino.                        F: Femenino.

TABULACIÓN DE DATOS
# DE DATOS	ALTURA (cm)	EDAD (Años)	GENERO (M=1 ó F=2)		# DE DATOS	ALTURA (cm)	EDAD (Años)	GENERO (M=1 ó F=2)
1	155	23	1		13	143	24	1
2	160	24	2		14	175	30	2
3	185	22	1		15	170	27	1
4	175	25	1		16	170	26	1
5	172	26	1		17	163	23	1
6	165	24	1		18	168	22	1
7	168	26	2		19	160	23	1
8	170	27	1		20	171	25	2
9	180	22	1		21	170	21	1
10	180	21	1		22	180	24	1
11	162	23	1		23	175	21	2
12	170	23	2		24	178	26	1

      2.  Analizar los datos de cada categoría, obteniendo las medidas de tendencia central, las desviaciones, histogramas, etc.

a.      Altura:

ALTURA (cm)
Media	169,375
Error típico	1,884156387
Mediana	170
Moda	170
Desviación estándar	9,230443486
Varianza de la muestra	85,20108696
Coeficiente de asimetría	-0,910860253
Rango	42
Mínimo	143
Máximo	185
Suma	4065
Cuenta	24
Nivel de confianza (95,0%)	3,897674449

    ·         La media o promedio obtenido de la estatura de los estudiantes, es de 169,375 cm.          

    ·         El error del estudio es de aproximadamente 2.

    ·         El valor medio o mediana es de 170 cm.

    ·         La altura que más se repite es de 170 cm.

    ·         La desviación de punto por punto del estudio es de 9,23.  

    ·         El coeficiente de asimetría es de -0,9108, y se puede concluir que el punto más alto, se encuentra         en el lado izquierdo del histograma.

    ·         Rango de 42 cm, valor menor 143 cm y valor mayor 185 cm.

    ·         Sumatoria de todas las alturas 4065 cm.

    ·         Total de datos 24.

    ·         Nivel de confianza de 95%

Rango	Frecuencia	% acumulado
143	1	4,17%
153,5	0	4,17%
164	5	25,00%
174,5	10	66,67%
y mayor...	8	100,00%

·         La frecuencia y porcentaje acumulado de que algún estudiante tenga una altura de 143 cm es de 1 y el 4,17%, de 144 cm a 153,5 cm es de 0 y 4,17%, de 154 cm a 164 es de 5 y 25%, de 165 cm a 174,5 cm es de 10 y 66,67%, mayor de 174,5 cm, es de 8 y 100% respectivamente.

a.      Edad:

EDAD (Años)
Media	24,08333333
Error típico	0,458086231
Mediana	24
Moda	23
Desviación estándar	2,244155049
Varianza de la muestra	5,036231884
Coeficiente de asimetría	0,692562862
Rango	9
Mínimo	21
Máximo	30
Suma	578
Cuenta	24
Nivel de confianza (95,0%)	0,947623568

   ·         La media o promedio obtenido de la Edad de los estudiantes, es de 24 Años.

   ·         El error del estudio es de aproximadamente 0,5.

   ·         El valor medio o mediana es de 24 Años.

   ·         La edad que más se repite es de 23 Años.

   ·         La desviación de punto por punto del estudio es de 2,244.

   ·         El coeficiente de asimetría es de 0,6925, y se puede concluir que el punto más alto, se encuentra en el lado derecho del histograma.

   ·         Rango de 9 años, valor menor 21 años y valor mayor 30 años.  

   ·         Sumatoria de todas las edades 578 años.

   ·         Total de datos 24.

   ·         Nivel de confianza de 95%.

Rango	Frecuencia	% acumulado
21	3	12,50%
23,25	8	45,83%
25,5	6	70,83%
27,75	6	95,83%
y mayor...	1	100,00%

·         La frecuencia y porcentaje acumulado de que algún estudiante tenga una edad de 21 años es de 3 y el 12,5%, de 22 años a 23 años es de 8 y 45,83%, de 24 años 26 años es de 6 y 70,83%, de 27 años a 28 años es de 6 y 95,83%, mayor de 29 años, es de 1 y 100% respectivamente.

a.      Género:

GENERO (M=1 ó F=2)
Media	1,25
Error típico	0,09028939
Mediana	1
Moda	1
Desviación estándar	0,442325868
Varianza de la muestra	0,195652174
Coeficiente de asimetría	1,233150906
Rango	1
Mínimo	1
Máximo	2
Suma	30
Cuenta	24
Nivel de confianza (95,0%)	0,186777833

   ·   La media o promedio obtenido del Género de los estudiantes, es de 1,25, en otras palabras, predomina el masculino.

     ·         El error del estudio es de aproximadamente 0,09.

     ·         El valor medio o mediana es de 1 o género Masculino.

     ·         El Género que más se repite es el masculino.

     ·         La desviación de punto por punto del estudio es de 0,4423.

     ·         El coeficiente de asimetría es de 1,2331, y se puede concluir que el punto más alto, se encuentra en el lado derecho del histograma.

     ·         Rango de 1, valor menor 1 = Masculino y valor mayor 2 = Femenino.

     ·         Total de datos 24.

     ·         Nivel de confianza de 95%.

Clase	Frecuencia	% acumulado
1	17	73,91%
y mayor...	6	100,00%

·         La frecuencia y porcentaje acumulado de que algún estudiante sea hombre o mujer es de, 1 = Hombre es de 17 y el 73,91%, 2 = Mujer es de 6 y 100%, respectivamente.